Bet365 - Online Sports Betting第17讲 空间图形的表面积和体积（知识清单+9题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

2026-04-18 05:11:49

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　　第17讲 空间图形的表面积和体积 知识清单 知识点01：空间几何体的表面积与体积公式 知识点02：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 知识点03：球的表面积、体积及有关计算 题型讲解 （举一反三） 题型1：棱柱的表面积、侧面积 题型2：圆柱的表面积、侧面积 题型3：棱锥的表面积、侧面积 题型4：圆锥的表面积、侧面积 题型5：棱台的表面积、侧面积 题型6：圆台的表面积、侧面积 题型7：球的表面积、体积 题型8：柱体、锥体、台体的体积 题型9：多面体与球体的内切外接问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 棱柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 棱锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 棱台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 [方法技巧]求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 三视图 形式 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 知识点2、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 圆柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 圆锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 圆台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 [方法技巧]求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 知识点3、球的表面积、体积及有关计算 球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则. 长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为，球的半径为， ①正方体的外接球，则； ②正方体的内切球，则； ③球与正方体的各棱相切，则. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 解决与球有关的切、接问题的方法： (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 题型1：棱柱的表面积、侧面积 【例1-1】已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 【答案】D 【分析】由于底面是菱形，借助菱形的性质进一步分析可求出菱形的边长，进而得到侧面积. 【详解】由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得菱形的边长为5， 所以侧面积为． 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知正方体的棱长为2，过点，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体的结构特征及三棱柱的表面积计算即可. 【详解】由题意知，过点，B，C的平面为平面， 所以这两个几何体的表面积之和等于正方体的表面积加上长方形的面积的2倍， 正方体的表面积为，长方形的面积为， 所以这两个几何体的表面积之和为. 故选：C. 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 【答案】2 【分析】先设出棱长再根据题目所给条件列方程求解 【详解】设出正四棱柱的各个边长，根据题意列方程求解. 根据正四棱柱的定义，正四棱柱有两个正方形作为底面，侧棱和底面垂直的几何体， 如图所示. 设正方形边长为，侧棱长为，依题意得：， 两式相除并整理可得：，即， 当时，联立，解得； 当时，联立，解得. 于是共有个正四棱柱符合题意. 【变式1-3】（24-25高一下·广西百色·期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为AC的中点，. (1)求三棱柱的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由三棱柱的表面积等于三个侧面面积加上上下底面面积可得； （2）连接交于点，连接OD，由三角形中位线的性质结合线面平行的判定定理可得. 【详解】（1）因为侧棱底面ABC，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面均为矩形. 因为，所以底面均为直角三角形. 因为，所以. 所以三棱柱的表面积为 . （2）连接交于点，连接OD， 因为四边形为矩形，所以为的中点. 因为为AC的中点，所以. 因为平面平面，所以平面. 题型2：圆柱的表面积、侧面积 【例2-1】（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆柱的底面半径和高，结合圆柱的侧面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知该圆柱的底面半径，高，则该圆柱的侧面积是. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原圆柱的底面圆半径为，高为，得到，从而求出侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为， 新几何体的表面积为， 故，原圆柱的侧面积为. 故选：B 【变式2-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）冬季奥林匹克运动会简称“冬奥会”，第一届冬奥会于1924年在法国的夏慕尼举行，第24届冬季奥林匹克运动会（又称2022年北京冬季奥运会）将在北京和张家口共同举办，单板滑雪U型池比赛是冬奥会的一个比赛项目，其场地近似一个横着的半圆柱（如图），其长35m，口宽12m，如果将U型池铺上特殊材料，共需要特殊材料____________平方米． 【答案】 【分析】直接根据圆柱的表面积公式即可得结果. 【详解】由题意可知，半圆柱的底面半径为，半圆柱的长， 所以U型池的表面积为平方米， 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）一个圆柱形的锅炉，底面直径，高．求锅炉的表面积（精确到）． 【答案】 【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形可求圆柱的表面积. 【详解】 ． 因此，锅炉的表面积约为． 题型3：棱锥的表面积、侧面积 【例3-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】A 【分析】求得斜高，结合表面积公式求解即可. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：A. 【变式3-1】由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为______. 【答案】 【分析】设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，分别用表示出以该四棱锥的高为边长的正方形面积和该四棱锥侧面积，即可得出答案. 【详解】如图，    设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点， 则由题意得：，所以， 则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，， 设该四棱锥侧面积为， 所以. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积． 【详解】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 【变式3-3】（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图，在边长为4的正方体中，点在上． (1)当是中点时，证明：平面； (2)当和重合时，求三棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结交于点，利用三角形中位线）分别求出四个三角形的面积即可. 【详解】（1）如图，连结交于点，则为的中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）当与重合时，三棱锥即三棱锥， 则在边长为4的正方体中，是边长为的正三角形， 所以三棱锥表面积为 . 题型4：圆锥的表面积、侧面积 【例4-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知圆锥的高为1，母线，则底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得圆锥的底面半径即可求解. 【详解】圆锥的底面半径为， 所以底面圆的周长为， 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式可解． 【详解】根据题意圆锥的母线长，代入即可求得    ． 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【分析】由题意可得母线长与底面半径，利用侧面展开图是扇形可求侧面积. 【详解】由题意可得圆锥的母线长，底面半径为， 所以圆锥的侧面积为. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏常州·期末）过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为______． 【答案】 【分析】连接，设圆锥的母线长为，可得圆锥的底面圆的半径为，高为，进而结合题设可求得，再根据圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】如图，连接，设圆锥的母线长为， 则圆锥的底面圆的半径为，高为. 由已知得， 所以为等腰三角形，设其底边上的高为， 则， 则，解得， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：.    题型5：棱台的表面积、侧面积 【例5-1】已知正四棱台的上、下底面的边长分别是，高为2，则该四棱台的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，再结合高为2，可求出斜高，从而可求出其表面积. 【详解】根据题意可知：该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形， 所以侧面的斜高为，则， 上下底底面面积分别为， 所以该四棱台的表面积为， 故选：C. 【变式5-1】一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，分别是上、下底面中心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点，求出棱台的斜高，从而求出其侧面积. 【详解】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以． 故选：B 【变式5-2】一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2. 【答案】1012 【分析】首先求出侧面为等腰梯形高，求出侧面面积以及上、下底面面积即可求解. 【详解】正四棱台侧面为等腰梯形， 其高为， 所以正四棱台的表面积S＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm2). 故答案为：1012 【变式5-3】正四棱台两底面边长分别为a和b(ab). （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线°，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）如图所示，由于平面，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，可得，，．分别取，的中点，，连接，．利用勾股定理可得：，．可得斜高．即可得出棱台的侧面积． （2）由棱台的侧面积等于两底面面积之和，可得，利用即可得出． 【详解】解：（1）如图所示: 平面，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为， ，，． 分别取，的中点，，连接，． 则，． 斜高． 棱台的侧面积； （2）棱台的侧面积等于两底面面积之和， ， ． ． 【点睛】本题考查了正四棱台的有关计算、直角三角形的边角关系、勾股定理、梯形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力． 题型6：圆台的表面积、侧面积 【例6-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆台的母线长，结合圆台的表面积公式可求得该圆台的表面积. 【详解】取圆台的轴截面，如下图所示： 、为圆台的两条母线，由题意可知，，且，， 延长、交于点，则是边长为的等边三角形， 因为，，故为的中位线，则、分别为、的中点， 故，即圆台的母线长为， 因此，该圆台的表面积为. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据几何体轴截面结构特征依次求出台体母线长为和，接着结合题设条件得，再由台体侧面积公式和基本不等式及其配凑法即可求解. 【详解】如图为几何体的轴截面，为上下底面中心，为球心，为球与母线的切点， 台体上下底半径分别为， 则，又因为， 所以与全等，所以，同理可得， 所以台体母线长为， 所以， 则， 所以台体的侧面积为， 当且仅当即时等号成立. 圆台的侧面积最小值为. 故选：D 【变式6-2】（23-24高一下·江苏·单元复习）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线 cm，两底面直径分别为40cm和30cm；现有制作这种纸篓的塑料制品50 m2，最多可以做这种纸篓的个数为________． 【答案】 【分析】利用圆台的表面积公式求出每个纸篓需要的塑料制品面积，然后用总数除以该面积即可得到结果. 【详解】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则，，， 从而该圆台的侧面面积厘米，底面面积厘米， 故每个纸篓需要的塑料制品面积为厘米. 而总的塑料制品有米，即厘米，，故最多可以做个. 故答案为：. 【变式6-3】（2024高一下·全国·专题练习）圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积. 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面图，再设上底面半径为，下底面半径为，高为，结合勾股定理列式可得，进而求得表面积. 【详解】圆台的轴截面如图所示，    设上底面半径为，下底面半径为，高为， 由题意，， 则它的母线长为，所以. 故， . 故答案为： 题型7：球的表面积、体积 【例7-1】（2026高一·全国·专题练习）若一个球的体积是，则这个球的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设这个球的半径为，球的体积是，则，即这个球的半径. 【变式7-1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥底面半径、球的半径和表示相关参数，利用相似三角形建立关系，根据球体积公式计算球的半径，代入圆锥底面半径和母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥底面半径为，圆锥高为，底面直径与母线长相等，则母线长， 再设圆锥内部所能容纳的最大球的半径为， 根据勾股定理，， 画出圆锥的轴截面，此时圆锥的轴截面是一个等边三角形，其内部的最大圆是该等边三角形的内切圆，根据轴截面的相似三角形关系得： ，即，，， 已知球的体积为，则，解得，， 所以，， 根据圆锥的侧面积公式，该圆锥的侧面积为. 故选：C.    【变式7-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 【变式7-3】已知一个球的半径为R，其体积的数值和表面积的数值满足关系，则半径______． 【答案】 【分析】利用球的表面积公式和体积公式即可求解 【详解】因为，所以，解得， 故答案为： 题型8：柱体、锥体、台体的体积 【例8-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体、圆柱、球的表面积相等设出相应的量，然后用相同的量表示出它们的体积，比较即可. 【详解】设正方体的棱长为，等边圆柱底面圆的半径为，球体的半径为， 所以正方体的表面积为， 等边圆柱的表面积为， 球的表面积为， 因为，即， 由，， 所以正方体的体积为， 等边圆柱的体积为， 球的体积为， 因为， 所以， 故选：C. 【变式8-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，，取的中点，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可． 【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，连接，， 则由题意等腰梯形全等于等腰梯形， 则． 取的中点，连接，因为，所以， 则， ． 因为，，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又，，平面， 所以平面，所以平面，同理可证平面， 所以多面体的体积． 故选：D． 【变式8-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为____________. 【答案】4 【分析】设正三棱柱的底面积为，高为，利用等体积法求出即可. 【详解】设正三棱柱的底面积为，高为，则水的体积， 因为分别为所在棱的中点，所以，， 所以图（2）中水的体积为，又， ，解得. 所以该正三棱柱容器的高为4. 故答案为：4. 【变式8-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 【答案】(1)该几何体的体积为； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由条件可得该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的，结合圆柱体积公式求结论； （2）证明，由线面平行的判定定理可得； （3）设平面平面，利用面面平行性质定理证明，由此可得为的中点，再利用面面平行性质定理证明，在中，由正弦定理求，再证明，由此可得结论. 【详解】（1）因为几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的， 所以该几何体的体积为底面半径为，高为的圆柱体积的， 所以该几何体的体积为， （2）连接， 因为P是上的中点，则，是中点， 又Q是AC的中点，所以， 平面，平面， 所以平面； （3）连接， 因为平面平面， 设平面平面，又平面平面， 则，因为是的中点， 所以为的中点，为的中点， 因为平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，又， 所以， 因为，， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 所以. 题型9：多面体与球体的内切外接问题 【例9-1】（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案. 【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为， 则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心， 外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则 棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为. 注意到， 则，设中心为，则为正四面体的高. 则. 又三点共线，则到平面距离为. 注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为. 故选：C 【变式9-1】（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 【变式9-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为________. 【答案】 【分析】根据长方体的几何性质，确定球心与半径，利用球的体积公式，可得答案. 【详解】由题意，取长方体的体对角线中点为，可作图如下： 易知点到长方体八个顶点的距离相等，即为外接球球心， 则外接球的半径，所以球的体积. 故答案为：. 【变式9-3】（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线)证明：直线)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明平面从而得到，再根据从而证明平面； （2）先证明点为外接球的球心，求出半径即可求出答案； （3）证明，，从而得到即为二面角的平面角，接着证明为直角三角形，利用基本不等式得到的面积最大时，即可得到答案. 【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 所以三棱锥外接球的半径为， 外接球的体积为 （3）因为平面，平面，所以， 又为在上的投影，所以， 平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又平面，平面，所以，即为直角三角形， 且斜边为定值， 所以，所以，当时等号成立， 所以，当时等号成立， 此时为等腰直角三角形，所以， 所以当的面积最大时，求二面角的平面角的大小为. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线，则该圆台的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出该圆台的侧面积、上下底面积可得答案. 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别是1和5，母线， 则该圆台的表面积为. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆锥的高，结合球的截面圆的性质，以及球的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的高为，因为圆锥的体积为，可得，解得， 设圆锥的外接球的半径为，可得，即， 解得，所以外接球的表面积为. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（    ） A．2cm B． C．3cm D． 【答案】B 【分析】求出铁球的半径，再结合等体积法即可求解. 【详解】设所求为，铁球的半径为，则，解得， 所以，解得. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，该直三棱柱可补形为长方体，则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球，由球的表面积求出半径，根据长方体的体对角线长的公式列方程，即可解得侧棱长. 【详解】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 5．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆台的性质求出母线长度，结合勾股定理求出高，再利用体积公式求解即可. 【详解】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2， 因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环， 所以圆台的母线长度为， 设圆台的高为，由勾股定理得， 由圆台的体积公式得体积为，故A正确. 故选：A 6．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得，且，再结合圆台的表面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：，可得，即， 可得此圆台的表面积是. 故选：C. 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）直角三角形ABC中，斜边AB长为，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球的表面积为，则BC长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】据圆锥外接球的几何性质，利用外接球表面积求出外接球半径，三角形斜边即是母线长，根据勾股定理，求出边长. 【详解】 绕直角三角形的一条直角边旋转一周，可得到一个圆锥，如图所示，圆锥母线长， 设外接圆半径为，外接圆表面积为，解得， 设，在直角中， 同理在直角中， 可得方程，解得， 所以. 故选：A. 8．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，平面经过和，平面经过和，则该正方体处于平面之间部分的体积为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先由平行关系得到两截面，由对称性得到正方体处于平面之间部分的体积为正方体的体积减去两个三棱台的体积，再结合台体体积公式计算可得. 【详解】取中点，因为为的中点，所以， 则四点共面，所以平面截正方体的截面即为平面， 取中点，因为为中点，所以，同理平面截正方体的截面即为， 几何体为三棱台，由对称可知三棱台的体积与的体积相等， 所以正方体处于平面之间部分的体积为正方体的体积减去两个三棱台的体积， ， 所以该正方体处于平面之间部分的体积为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知为圆锥底面圆的直径，母线与圆锥底面所成角为，母线，互相垂直，，则（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．二面角的大小为 D．圆锥的外接球体积为 【答案】ACD 【分析】由题知在中，，.根据圆锥的侧面积公式即可判断选项A；由母线，互相垂直，可得.取的中点，连接，根据圆的性质可求的值，即可求解的值，根据锥体体积公式即可判断选项B；连接，则 即为二面角的平面角，即可判断选项C；易知圆锥的外接球球心必在射线上，设圆锥的外接球半径为.分圆锥的外接球球心在线段上和圆锥的外接球球心在的延长线上两类讨论，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的值，即可判断选项D. 【详解】 由题知，，， ∴在中，，. ∴圆锥的侧面积为，故选项A正确； ∵母线，互相垂直，，∴. 取的中点，连接，则根据圆的性质可知，， ∴，， ∴， ∴，故选项B错误； 连接，如图所示.由，为线段的中点，. 又，∴即为二面角的平面角. ∴在中，，∴，故选项C正确； 易知圆锥的外接球球心必在射线上，设圆锥的外接球半径为. 当圆锥的外接球球心在线段上时，如图所示，则有，，， ∴，解得（舍去）； 当圆锥的外接球球心在的延长线上时，如图所示，则有，，， ∴，解得. 综上，圆锥的外接球半径为， ∴圆锥的外接球体积为，故选项D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高一下·江苏镇江·期末）正方体的棱长为6，，，分别为，，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直 B．直线平面 C．三棱锥的体积为9 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ABD 【分析】由平行四边形及正方形的性质可判断A；由面面平行的性质可判断B；由三棱锥的体积公式可判断C；作出截面，即可判断D． 【详解】    对于A，连接，则四边形为平行四边形，所以， 因为，分别为，的中点，所以， 由四边形为正方形得，所以， 所以，故A正确； 对于B，取的中点，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，，故C错误；    对于D，如图，连接，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以四点共面， 所以平面截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确. 故选：ABD． 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则（   ） A． B．平面 C．直线MN与平面所成角为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A：先证明平面,利用线面垂直的性质定理即可证明；对于B：利用线面平行判定定理即可证明； 对于C：找出线面角即可求得结果，对于D：求出外接球的半径即可得到结果. 【详解】对于A：因为正三棱柱，所以平面,平面， 故,又因为三角形为正三角形，M为BC的中点，故, 因为,且平面，故平面， 又因为平面，所以，故选项A正确； 对于B：如图，连接两线相交于点O， 再连接OM，因为是正三棱柱，所以四边形为长方形， 故点O为直线的中点，又因为M为BC的中点，所以OM为三角形的中位线， 故,因为平面，平面，所以平面，故选项B正确； 对于C： 如图，找直线的中点H，直线AC的中点G，连接,因为， 所以点N是的四等分点，故点N为的中点，又因为M为BC的中点， 故,所以直线MN与平面所成角即为直线BH与平面所成角， 因为正三棱柱，所以平面，平面，故, 又因为三角形为正三角形，G为AC的中点，故,因为, 且平面，故平面，故即为所求线面角， 设线面角为，因为, 所以,故选项C错误； 对于D：因为正三棱柱，所以平面,所以球心到平面的距离为, 又因为三角形的外接圆圆心为，所以外接球半径,故，故选项D正确； 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知一个正三棱台的高为4，上、下底面边长分别为、，则这个三棱台的体积为______． 【答案】37 【分析】利用棱台的体积公式可得答案. 【详解】因为上、下底面边长分别为、， 所以上、下底面面积分别为、， 则这个三棱台的体积. 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为______． 【答案】 【分析】根据祖暅原理可知所求半球台体积等于圆柱与圆锥体积差，由此求解即可. 【详解】因为半球台下底面半径，上底面半径， 所以半球台高度. 由祖暅原理得，半球台的体积等于底面半径为、高为的圆柱的体积减去底面半径为、高为的圆锥的体积， 所以半球台的体积. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏连云港·期末）一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L． 【答案】 【分析】由棱台的体积公式即可求解. 【详解】该油槽的容积为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一·江苏·单元复习）已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积和体积. 【答案】表面积为，体积为 【分析】设截面的圆心为，球心为O，连接，由已知得截面圆半径，然后由截面性质求得球半径后可得表面积和体积. 【详解】设截面圆心为，球心为O，连接，    设球半径为， 因为. 在中，， 所以，所以， 所以. . 16．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得平面，利用锥体的体积可求体积； （2）利用等体积法可求点点到平面的距离. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又，平面， 所以平面，又， 所以三棱锥的体积； （2）在中，由，， 所以边上的高为， 所以， 设点到平面的距离为， 所以，由（1）可得，解得. 所以点到平面的距离. 17．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定可证平面； （2）根据线面垂直的判定可证平面，继而可得； （3）由（2）知就是二面角的平面角，过作，垂足为，连结，继而可证为二面角的平面角，即，再利用四棱锥的体积为，可得的长. 【详解】（1）在长方体中， 所以四边形为矩形，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 因为，所以，因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （3）因为二面角的大小为， 由（2）可知为二面角的平面角，所以，所以， 过作，垂足为，连结，因为为的中点， 所以，因为平面平面， 所以，因为相交，且平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 所以，因为平面，点在平面内， 所以为平面与平面的距离，故， 所以. 18．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 19．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． (1)若点是棱的中点，求异面直线与所成角的正弦值； (2)若且，求的最大值； (3)记与侧面所成的角分别为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，连接，可得异面直线与所成角即为直线与所成角，据此可得答案； （2）由等体积法可得，然后由基本不等式可得答案. （3）设平面与的交线为，，，过点作平面使得平面，设，，可得， ，据此可得，然后可得答案. 【详解】（1）设，连接， ∵正四棱锥中，∴为线段中点， ∵点是棱的中点，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与所成角．   又正四棱锥所有棱长均为，由对称性知， ∴，且，∴， 即异面直线与所成角的正弦值为； （2）∵正四棱锥，∴平面， 设点到平面的距离为， ∵在正四棱锥中，所有棱长均为， ∴四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为， 又， 依题意可得， ∴， 即， 解得；                                        ∵且，∴， ，当且仅当时取“”， ∴的最大值为； （3）设平面与的交线为，，， 过点作平面使得平面，                              （说明：即过点作交于点，交于点， 再在平面内作，连接，则， 又，平面，∴平面， 又，平面，平面，∴平面， 又平面与的交线为，平面， ∴，∴平面）， 取中点为H， 因平面，平面，则平面平面， 因为正四棱锥，平面与的交线为，， 由对称性可得为等腰三角形，则，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 又平面，则，又易得平面，，， 则，则，， ∴，设，即， ∴，同理可得， ∴，                                              设，同上方法可得， ∴， 而， ∴，                                           又与侧面所成的角分别为， 则，，，， ∴，                   ∴ ．                   1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 空间图形的表面积和体积 知识清单 知识点01：空间几何体的表面积与体积公式 知识点02：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 知识点03：球的表面积、体积及有关计算 题型讲解 （举一反三） 题型1：棱柱的表面积、侧面积 题型2：圆柱的表面积、侧面积 题型3：棱锥的表面积、侧面积 题型4：圆锥的表面积、侧面积 题型5：棱台的表面积、侧面积 题型6：圆台的表面积、侧面积 题型7：球的表面积、体积 题型8：柱体、锥体、台体的体积 题型9：多面体与球体的内切外接问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 棱柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 棱锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 棱台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 [方法技巧]求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 三视图 形式 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 知识点2、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l 圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 圆柱 S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 圆锥 S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 圆台 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h [方法技巧]求空间几何体表面积的常见类型及思路 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 [方法技巧]求空间几何体体积的常见类型及思路 规则 几何体 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法 不规则 几何体 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解 知识点3、球的表面积、体积及有关计算 球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则. 长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为，球的半径为， ①正方体的外接球，则； ②正方体的内切球，则； ③球与正方体的各棱相切，则. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 解决与球有关的切、接问题的方法： (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． (2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 题型1：棱柱的表面积、侧面积 【例1-1】已知底面是菱形的直棱柱，底面的对角线，则这个棱柱的侧面积是（   ） A．75 B．250 C．150 D．300 【变式1-1】（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知正方体的棱长为2，过点，B，C的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）正四棱柱的体对角线长是，全面积是，则满足这些条件的正四棱柱有_____个. 【变式1-3】（24-25高一下·广西百色·期末）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为AC的中点，. (1)求三棱柱的表面积； (2)求证：平面. 题型2：圆柱的表面积、侧面积 【例2-1】（24-25高一下·河北邢台·期中）已知某圆柱的轴截面是边长为的正方形，则该圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江苏无锡·期中）冬季奥林匹克运动会简称“冬奥会”，第一届冬奥会于1924年在法国的夏慕尼举行，第24届冬季奥林匹克运动会（又称2022年北京冬季奥运会）将在北京和张家口共同举办，单板滑雪U型池比赛是冬奥会的一个比赛项目，其场地近似一个横着的半圆柱（如图），其长35m，口宽12m，如果将U型池铺上特殊材料，共需要特殊材料____________平方米． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）一个圆柱形的锅炉，底面直径，高．求锅炉的表面积（精确到）． 题型3：棱锥的表面积、侧面积 【例3-1】（24-25高一下·安徽合肥·期末）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（   ） A．12 B．24 C．32 D．48 【变式3-1】由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为______. 【变式3-2】（24-25高一下·福建福州·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【变式3-3】（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图，在边长为4的正方体中，点在上． (1)当是中点时，证明：平面； (2)当和重合时，求三棱锥的表面积． 题型4：圆锥的表面积、侧面积 【例4-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知圆锥的高为1，母线，则底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏常州·期末）过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为______． 题型5：棱台的表面积、侧面积 【例5-1】已知正四棱台的上、下底面的边长分别是，高为2，则该四棱台的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【变式5-2】一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2. 【变式5-3】正四棱台两底面边长分别为a和b(ab). （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线°，求棱台的侧面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高. 题型6：圆台的表面积、侧面积 【例6-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知圆台上、下底面半径分别为、，若其母线与底面所成角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，圆台的上、下底面半径分别为，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且，则圆台的侧面积最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·江苏·单元复习）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线 cm，两底面直径分别为40cm和30cm；现有制作这种纸篓的塑料制品50 m2，最多可以做这种纸篓的个数为________． 【变式6-3】（2024高一下·全国·专题练习）圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，求圆台的表面积. 题型7：球的表面积、体积 【例7-1】（2026高一·全国·专题练习）若一个球的体积是，则这个球的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知一个圆锥型容器的底面直径与母线长相等，若容器壁和底的厚度不计，该容器内部所能容纳的最大球的体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【变式7-3】已知一个球的半径为R，其体积的数值和表面积的数值满足关系，则半径______． 题型8：柱体、锥体、台体的体积 【例8-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的表面积相等，它们的体积分别为，则下面关系中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）水楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，如图为一个木楔子，其中四边形是边长为1的正方形，且均为正三角形，，，则该小楔子的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为____________. 【变式8-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的．已知，是上的中点，是的中点，与交于点． (1)求该几何体的体积； (2)求证：平面ABEF； (3)若是上的一点，且满足平面平面，求的值． 题型9：多面体与球体的内切外接问题 【例9-1】（24-25高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知长、宽、高分别为1，2，2的长方体的顶点都是球表面上的点，则球体积为________. 【变式9-3】（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线)证明：直线)求三棱锥外接球的体积； (3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线，则该圆台的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知圆锥底面半径为3，体积为，若圆锥底面圆周和顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（    ） A．2cm B． C．3cm D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏南京·期末）直角三角形ABC中，斜边AB长为，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球的表面积为，则BC长为（    ） A． B．2 C． D．3 8．（24-25高一下·江苏苏州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，平面经过和，平面经过和，则该正方体处于平面之间部分的体积为（   ） A． B．4 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知为圆锥底面圆的直径，母线与圆锥底面所成角为，母线，互相垂直，，则（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．二面角的大小为 D．圆锥的外接球体积为 10．（24-25高一下·江苏镇江·期末）正方体的棱长为6，，，分别为，，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直 B．直线平面 C．三棱锥的体积为9 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 11．（24-25高一下·江苏南通·期末）在正三棱柱中，，，M为BC的中点，点N在棱上，且，则（   ） A． B．平面 C．直线MN与平面所成角为 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知一个正三棱台的高为4，上、下底面边长分别为、，则这个三棱台的体积为______． 13．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）我国南北朝时期伟大的数学家、天文学家祖暅，首次发现“幂势既同，则积不容异”的结论，被称为“祖暅原理”，并用其推导出球的体积公式（示意如图），比西方早一千一百多年，显示出我国古代在数学研究上的辉煌成就．半球台的定义：用一个平行于半球大圆面的平面去截半球，截面圆和大圆面之间的部分叫半球台，大圆面叫下底面，截面叫上底面，则一个下底面半径为5，上底面半径为4的半球台的体积为______． 14．（24-25高一下·江苏连云港·期末）一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L． 四、解答题 15．（24-25高一·江苏·单元复习）已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积和体积. 16．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥中，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求点到平面的距离． 17．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，在长方体中，点在平面内，是棱上一点（不包括端点），的中点为. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若二面角与二面角的大小都为，四棱锥的体积为，求的长. 18．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 19．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为． (1)若点是棱的中点，求异面直线与所成角的正弦值； (2)若且，求的最大值； (3)记与侧面所成的角分别为，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $

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